Таблица производных элементарных функций
Вычисление производной называют дифференцированием.
Обозначают производную $y'$ или $\frac{dy}{dx}$.
Для нахождения производной функции согласно основным правилам дифференцирования превращают в другую функцию.
Рассмотрим таблицу производных. Обратим внимание на то, что функции после нахождения их производных преобразуются в другие функции.
Рисунок 1. Таблица производных. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Исключение составляет лишь $y=e^x$, превращающаяся сама в себя.
Правила дифференцирования производной
Чаще всего при нахождении производной требуется не просто посмотреть в таблицу производных, а вначале применить правила дифференцирования и доказательство производной произведения, и только потом использовать таблицу производных элементарных функций.
1. Постоянная выносится за знак производной
$(Cu)'=Cu'$,
$C$ – постоянная (константа).
Продифференцировать функцию $y=7x^4$.
Решение.
Находим $y'=(7x^4 )'$. Выносим число $7$ за знак производной, получаем:
$y'=(7x^4 )'=7(x^4 )'=$
используя таблицу, необходимо находить значение производной степенной функции:
$=7 \cdot 4x^3=$
Преобразуем результат к принятому в математике виду:
$=28x^3$.
Ответ: $28x^3$.
2. Производная суммы (разницы) равна сумме (разнице) производных:
$(u \pm v)'=u' \pm v'$.
Продифференцировать функцию $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt[5]{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x$.
Решение.
$y'=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt[5]{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x)'=$
применим правило дифференцирования производной суммы и разницы:
$=(7)'+(x)'-(5x^5 )'+(4 \sin x )'-(9\sqrt[5]{x^2})'+(\frac{4}{x^4} )'-(11\cot x)'=$
отметим, что при дифференцировании все степени и корни необходимо преобразовать к виду $x^{\frac{a}{b}}$;
вынесем все постоянные за знак производной:
$=(7)'+(x)'-(5x^5 )'+(4\sin x )'-(9x^{\frac{2}{5}} )'+(4x^{-4} )'-(11\cot x)'=$
$=(7)'+(x)'-5(x^5 )'+4(\sin x )'-9(x^{\frac{2}{5}} )'+4(x^{-4} )'-11(\cot x)'=$
разобравшись с правилами дифференцирования, некоторые из них (например, как последние два) применяются одновременно во избежание переписывания длинного выражения;
мы получили выражение из элементарных функций, стоящих под знаком производной; воспользуемся таблицей производных:
$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac{2}{5} x^{-\frac{3}{5}}+12x^{-5}-11 \cdot \frac{-1}{\sin^2 x}=$
преобразуем к виду, принятому в математике:
$=1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt[5]{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$
Обратим внимание, что при нахождении результата принято слагаемые с дробными степенями преобразовать в корни, а с отрицательными – в дроби.
Ответ: $1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt[5]{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$.
3. Формула производной произведения функций:
$(uv)'=u' v+uv'$.
Продифференцировать функцию $y=x^{11} \ln x$.
Решение.
Сначала применим правило вычисления производной произведения функций, а затем используем таблицу производных:
$y'=(x^{11} \ln x )'=(x^{11} )' \ln x+x^{11} (\lnтx )'=11x^{10} \ln x+x^{11} \cdot \frac{1}{x}=11x^{10} \ln x-\frac{x^{11}}{x}=11x^{10} \ln x-x^{10}=x^{10} (11 \ln x-1)$.
Ответ: $x^{10} (11 \ln x-1)$.
4. Формула производной частной функции:
$(\frac{u}{v})'=\frac{u' v-uv'}{v^2}$.
Продифференцировать функцию $y=\frac{3x-8}{x^5-7}$.
Решение.
$y'=(\frac{3x-8}{x^5-7})'=$
по правилам приоритета математических операций сначала выполним деление, а потом сложение и вычитание, поэтому применим сначала правило вычисления производной частного:
$=\frac{(3x-8)' (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)'}{(x^5-7)^2} =$
применим правила производных суммы и разности, раскроем скобки и упростим выражение:
$=\frac{3(x^5-7)-5x^4 (3x-8)}{(x^5-7)^2} =\frac{3x^5-21-15x^5+40x^4}{(x^5-7)^2} =\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$ .
Ответ: $\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$.
Продифференцируем функцию $y=\frac{x^7-2x+3}{x}$.
Решение.
Функция y является частным двух функций, поэтому можно применить правило вычисления производной частного, но в таком случае получим громоздкую функцию. Для упрощения данной функции можно почленно разделить числитель на знаменатель:
$y=\frac{x^7-13x+9}{x}=x^6-13+\frac{9}{x}$.
Применим к упрощенной функции правило дифференцирования суммы и разности функций:
$y'=(x^6-13+\frac{9}{x})'=(x^6 )'+(-13)'+9(x^{-1} )'=6x^5+0+9 \cdot (-x^{-2})=$
$=6x^5-\frac{9}{x^2}$.
Ответ: $6x^5-\frac{9}{x^2}$.
