Операторы физических величин
Оператором называют обозначение математической операции, которую следует совершить над избранной функцией. Примеры операторов: умножение на функцию, дифференцирование и т.д.
Операторы можно складывать:
Произведение операторов ($\hat{A}\hat{B}$) - это оператор, действие которого равно:
Операторы коммутируют друг с другом, если выполняется равенство:
Оператор $\hat{A}$ называется линейным, если для любых функций и любых постоянных выполняется равенство:
Оператор координаты
Операторы, которые представляют динамические переменные, должны быть самосопряженными эрмитовыми операторами. Выбор их конкретного вида оператора, определен согласием результатов опытов, которые получают с его помощью. Известно, что среднее значение динамической переменной, которая представлена оператором $\hat{A}$ в состоянии, которое характеризуют волновой функцией $\Psi$, задают при помощи выражения:
Среднее значение координаты (одномерный случай) можно найти как:
Сравним выражения (1) и (2), можно сделать вывод о том, что оператором координаты $x$ надо выбрать оператор, умноженный на эту координату, что означает, что приложение оператора координаты ($\hat{x}$) к какой -- либо функции $f(x)$ -- это умножение данной функции на
$x:$
Что означает: $\hat{x}=x.$
Оператор импульса
В соответствии с гипотезой де Бройля свободная частица, обладающая импульсом $p_x$ -- плоская волна, имеющая волновое число $k_x=\frac{p_x}{\hbar }$ и частоту $\omega =\frac{E}{\hbar }$. Следовательно, должно выполняться соотношение:
и оно должно иметь решение в виде плоских волн:
где $A$ -- незначимая в данном случае постоянная. Сравнивая выражения (4) и (5), получаем, что оператор импульса имеет вид:
Аналогично выразятся остальные компоненты оператора импульса:
В векторном виде оператор импульса представляется как:
${\overrightarrow{i}}_x,{\overrightarrow{i}}_y,{\overrightarrow{i}}_z$ -- единичные орты.
Гамильтониан
В классической физике функцией Гамильтона ($H\left(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p}\right)$) называют полную энергию, которая выражена через импульсы и координаты частицы. Для одной частицы полная энергия равна:
В квантовой механике функции Гамильтона соответствует оператор. Он получится, если в выражение (9) вместо вектора импульса подставить оператор $\hat{p}$.То есть имеем:
Оператор полной энергии и момента импульса
Оператор полной энергии ($\hat{E}$) выбирается так, что его собственные значения были равны энергии частицы $(\hat{E})$:
В квантовой механике проекции момента импульса имеют в соответствии операторы:
Зная выражения для операторов можно найти среднее значение $\left\langle p^2\right\rangle $, $\left\langle E\right\rangle $, $\left\langle E_k\right\rangle $, если известна волновая функция частицы.
Оператор произвольной функции динамических переменных
Во всех приведенных выше примерах операторов, из функции $F(x,p)$ динамических переменных $(x,p)$ соответствующий оператор ($\hat{F}$) получался заменой импульса не его операторное выражение (6). В общем случае так делать нельзя. Так как получающийся при этом оператор ($\hat{F}(x,\frac{\hbar }{i}\frac{\partial}{\partial x})$) не является самосопряженным, и может применяться в квантовой физике. Такая операция возможна только, если получающийся оператор самосопряжен. Например, его можно записать как:
Условие одновременной измеримости динамических переменных
При измерении динамической переменной получают определенное ее значение только в том случае, если волновая функция, которая описывает систему - собственная функция исследуемой динамической переменной. Однако, собственные функции операторов разных динамических переменных, в общем случае разные. Значит, разные динамические переменные не могут в измерении дать одновременно определенные числовые значения. Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости разных динамических переменных является коммутативность операторов данных динамических переменных, то есть:
Задание: Вычислите, чему равна производная по времени от среднего значения ($\left\langle A\right\rangle $)динамической переменной, которая представлена соответствующим оператором ($\hat{A}$)? Запишите правило дифференцирования операторов.
Решение:
Продифференцирует по времени выражение:
\[\left\langle A\right\rangle =\int\limits_V{\Psi ^*}\hat{A}\Psi dV\left(1.1\right).\]Получаем:
\[\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle =\int\limits_V{\Psi ^*}\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\Psi dV+\int\limits_V{{\frac{\partial \Psi}{\partial t}}^*\hat{A}}\Psi dV+\int\limits_V{\Psi ^*\hat{A}}\frac{\partial \Psi}{\partial t}dV\left(1.2\right).\]Применим выражения:
\[\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=\frac{i}{\hbar }{\hat{H}}^*\Psi^*=\frac{i}{\hbar }\hat{H}\Psi^*,\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar }\hat{H}\Psi\left(1.3\right).\ \] \[\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle =\int\limits_V{\Psi^*}\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\Psi dV+\frac{i}{\hbar }\int\limits_V{(\hat{H}\Psi^*)\hat{A}}\Psi dV-\frac{i}{\hbar }\int\limits_V{\Psi^*\hat{A}}\hat{H}\Psi dV\left(1.4\right).\]Так как оператор $\hat{H}$ является эрмитовым, можно записать:
\[\int\limits_V{(\hat{H}\Psi^*)\hat{A}}\Psi dV=\int\limits_V{(\hat{A}\Psi)\hat{H}\Psi^*}dV=\int\limits_V{\Psi^*\hat{H}\hat{A}\Psi}dV\left(1.5\right).\]Используя равенство (1.5) перепишем выражение (1.4) как:
\[\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle =\int\limits_V{\Psi^*}\left[\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left(\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H}\right)\right]\Psi dV\left(1.6\right).\]Обозначим производную от оператора $\hat{A}$ символом $\frac{d\hat{A}}{dt}$ на основании (1.6) запишем:
\[\frac{d\hat{A}}{dt}=\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left(\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H}\right).\]Ответ: $\frac{d\hat{A}}{dt}=\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left(\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H}\right)-\ правило\ дифференцирования\ операторов.$
Задание: Выполняется ли операторное равенство вида:
\[{\left(1+\frac{\partial }{\partial x}\right)}^2=1+2\frac{\partial }{\partial x}+\frac{{\partial }^2}{{\partial x}^2}?\]Решение:
В условии мы имеем:
\[\hat{A}=\left(1+\frac{\partial }{\partial x}\right),\ то\ есть\ {\hat{A}}^2={\left(1+\frac{\partial }{\partial x}\right)}^2\left(2.1\right).\]Оператор действует на какую--то функцию $f$, то есть запишем:
\[{\hat{A}}^2f=\hat{A}\left(\hat{A}f\right)\left(2.2\right).\]Выражение (2.2), учитывая (2.1), запишем:
\[{\hat{A}}^2f=\left(1+\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(f+\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f+\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f^2}{\partial x^2}=\left(1+2\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial ^2}{{\partial x}^2}\right)f.\]Ответ: Равенство выполняется.
