Пусть система, содержит две одинаковые частицы. В стационарном состоянии волновая функция от времени не зависит, представим ее как: $\psi (q_1,\ q_2)$. При этом если не учитываются спины частиц $q_1$ - три пространственные координаты одной частицы, $q_2$ - координаты второй частицы. (Если требуется учесть спин, то к пространственным координатам добавляют спиновые координаты).
При перестановке местами частиц $1$ и $2$, получится волновая функция $\psi \left(q_2,\ q_1\right).$ Такая операция может быть представлена, как воздействие линейного оператора $\hat{P}$ на функцию $\psi (q_1,\ q_2)$. Такой оператор называется оператором перестановки:
Проведем перестановку еще раз, получим:
Из выражения (2) следует, что ${\hat{P}}^2=1$, значит $\hat{P}=\pm 1.\ $Значит, допустимыми являются волновые функции видов:
Статья: Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов
Если волновая функция неизменна (3) при перестановке частиц, ее называют симметричной (это обозначено индексом $s$). Выражение (4) дает нам определение ассиметричной функции, такая функция у нас имеет индекс $a$. Она меняет знак в случае перестановки одинаковых частиц.
Данные результаты обобщаются для систем имеющих любое количество одинаковых частиц. Тогда симметрия или асимметрия проявляется при перестановке любых двух частиц.
Частицы, состояния которых описываю при помощи симметричных волновых функций, называются бозе-частицами (бозонами). Частицы, в описаниях которых применяют антисимметричные волновые функции - фермионы (частицы ферми).
Сделаем обобщение для системы из $N$ частиц. $\psi$ -функция для системы из $N$ частиц:
Электроны являются фермионами, следовательно, их состояния описываются при помощи антисимметричных волновых функций. В выражении (5) обозначаем совокупность всех координат и всех спиновых переменных как $q_i$ данных $N$ электронов.
Если рассмотреть систему невзаимодействующих фермионов, то антисимметричная волновая функция систему, состоящую из $N$ частиц, можно описать в виде:
Рисунок 1.
где $\psi_i\left(q_i\right)$ -- волновые функции, описывающие поведение одной частицы. Волновая функция для множества частиц, записанная в виде (6) названа детерминантом Слэтера. При использовании детерминантной записи перестановки частиц то же самое, что перестановки двух столбцов в определителе (6). Мы помним, что перестановка столбцов изменит знак детерминанта, что будет соответствовать тому, что волновая функция является антисимметричной.
Если одинаковые электроны не взаимодействуют, то можно рассматривать не только состояние системы в целом, но и говорить о состоянии одной частицы. Так, говорят: одна частица пребывает в состоянии $\psi_a,\ $а другая - в $\psi_b$. В системе одинаковых фермионов, к которым относятся электроны, не может быть двух частиц, которые находились бы в одном и том же состоянии. Данный постулат называют принципом или запретом Паули.
В смысле ясности и точности принцип Паули проигрывает принципу антисимметрии волновых функций. Принцип Паули сформулирован для состояний отдельных частиц, тогда как принцип антисимметрии выполняется при наличии взаимодействия частиц. Принцип антисимметрии волновых функций фермионов иногда называют обобщенным принципом Паули.
Сформулируем требование: Система из $N$ электронов должна иметь определенный суммарный спин. Вспомним, что для одного электрона любой оператор, который действует на спиновую переменную можно представить как линейную комбинацию трех операторов: ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$. При этом выполняются равенства:
Рисунок 2.
где $r$ -- система $3$ пространственных координат, $\sigma $ -- спиновая переменная, принимающая два значения (например, $\sigma =1$ и $\sigma =-1$). Рассматривая волновую функцию как состоящую из двух компонент ($\psi \left(r,1\right)\ и\ \psi \left(r,-1\right)$) можно записать:
Рисунок 3.
При этом операторы:
будут удовлетворять перестановочным соотношениям:
Рисунок 4.
Перестановочные соотношения (10) определяют свойства момента количества движения (в единицах $\hbar $). Их можно считать операторами компонент собственного момента количества движения электрона. Если электронов много, то операторы ${\sigma }_{lx},{\sigma }_{ly},{\sigma }_{lz}$, действующие на спиновую переменную электрона с номером $l$ можно записать как:
Рисунок 5.
Операторы компонент спинового момента количества движения совокупности электронов (в единицах $\hbar $) выразим как:
Рисунок 6.
Данные операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям (10). Из них следует, что оператор:
будет коммутировать с каждым из операторов $s_x$, $s_y,\ s_z$. Собственные значения этого оператора равны $s(s+1)$, где $s$ -- равна половине целого неотрицательного числа. При известном $s$, собственные значения каждого из операторов $s_x$, $s_y,\ s_z$ изменяются как:
Требование, чтобы система из $N$ электронов имела определённый результирующий спин, можем записать как:
Задание: Покажите, что принцип запрета выражается в виде свойства антисимметрии волновой функции.
Решение:
Рассмотрим систему из двух электронов. Допустим, что положение электрона $1$ определяется координатой $x_1$, положение электрона $2$ определяется координатой$\ x_2.$ При этом волновая функция для подобной системы будет записана как: $\psi \left(x_1,\ x_2\right).\ \ $Переставим частицы местами и запишем свойство антисимметрии волновой функции:
\[\psi \left(x_1,\ x_2\right)=-\psi \left(x_2,\ x_1\right)\left(1.1\right).\]Если оба электрона находятся в одном месте, то:
\[x_1=x_2=x_0\left(1.2\right).\]при этом волновая функция имеет вид: $\psi \left(x_0,\ x_0\right)$. Так как для фермионов выполняется условие (1.1), то имеем:
\[\psi \left(x_0,\ x_0\right)=-\psi \left(x_0,\ x_0\right)\left(1.3\right).\]Из всех чисел такому выражению может удовлетворять только ноль. Получается, что волновая функция системы из двух электронов, которая подчиняется принципу антисимметрии, равна нулю, когда координаты электронов одинаковы (в том числе и спины), следовательно, два электрона не могут даже находиться слишком близко. Получаем, что свойство антисимметрии волновой функции в данном случае эквивалентно принципу запрета.
Задание: В системе фермионов при перемене местами частиц волновая функция изменяет знак, это значит, что изменяется состояние системы?
Решение:
Изменение знака волновой функции на противоположный перемены состояния системы не означает, так как физический смысл в квантовой механике имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля.
