Этапы решения задач с помощью компьютера. Математическая модель

Этапы решения задачи на компьютере

Решение задач при помощи компьютера делится на следующие основные этапы, которые частично осуществляются без участия компьютера.

Математическая модель

Математическая модель строится с использованием математических соотношений (уравнений, неравенств, формул, отношений и т.д.), которые отражают существенные свойства объекта или явления.

Любое природное явление является бесконечно сложным. Для его описания нужно определить его наиболее существенные свойства, закономерности, внутренние связи, роль отдельных характеристик явления. При выделении наиболее важных факторов можно пренебречь менее существенными.

Статья: Этапы решения задач с помощью компьютера. Математическая модель

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти решение задачи

Наиболее эффективно математическая модель реализуется на компьютере в виде вычислительного эксперимента. Если в модели не учесть важные стороны действительности, то можно получить результаты вычислительного эксперимента, которые не будут соответствовать действительности.

При создании математической модели для решения задач необходимо:

• построить предположения, на которых будет основываться математическая модель;
• определить исходные данные и результаты;
• записать математические соотношения, которые связывают результаты с исходными данными.

При создании математических моделей не всегда возможно использование формул, которые явно выражают искомые величины через данные. В таком случае используют математические методы, которые позволяют дать ответы с той или иной степенью точности.

Пример построения математической модели

Разработаем математическую модель, которая позволяет выполнить описание полета баскетбольного мяча. Мяч брошен игроком в баскетбольную корзину. С помощью модели нужно получить возможность:

• находить положение мяча в заданный момент времени;
• вычислять после броска точность попадания мяча в корзину при задании разных начальных параметров.

В качестве исходных данных возьмем:

• массу мяча;
• радиус мяча;
• начальные координаты мяча;
• начальную скорость мяча;
• угол броска мяча;
• координаты центра корзины;
• радиус корзины.

Модель должна не просто описывать движение, но и прогнозировать его результат.

Движение баскетбольного мяча можно описать по законам классической механики Ньютона.

Принимаем следующие гипотезы:

• объект моделирования – баскетбольный мяч с радиусом R;
• мяч – материальная точка, которая имеет массу m и ее положение совпадает с центром масс мяча;
• на движение мяча влияет поле сил тяжести и постоянное ускорение свободного падения g;
• мяч движется в плоскости, которая располагается перпендикулярно поверхности Земли и проходит через точку броска и центр корзины;
• пренебрегается сопротивление воздуха и последствия собственного вращения мяча вокруг центра масс.

Параметры движения мяча:

• координаты x и y;
• проекции скорости vx и vy центра масс мяча.

Получаем, что для определения положения мяча в заданный момент времени нужно записать закон движения центра масс мяча. Таким образом, нужно найти зависимость от времени координат x и y и проекций вектора скорости vx и vy центра мяча.

После математических расчетов получаем следующие зависимости движения мяча:

$V_x (t)=V_0 cos⁡α$, $x(t)=x_0+V_0 cos⁡α t$;

$V_y (t)=V_0 sin⁡α-gt$, $y(t)=y_0+V_0 sin⁡α t- \frac{gt^2}{2}$.

Соотношения для t_k принимают вид:

$V_0 sin⁡α-gt_k

Отсюда:

$t_k > \frac{V_0 sin⁡α}{g}$, $V_0 sin⁡α t_k- \frac{gt_k^2}{2}-(y_k-y_0 )=0$

Получили квадратное уравнение для определения t_k, один из корней которого выбирается по дополнительному условию.

Точность в этом случае будет вычисляться с помощью формулы:

$∆=x_0+V_0 cos⁡α t_k-x_k$.

Рассчитаем штрафной бросок, принимая начальное положение мяча на уровне кольца:

$x_0=y_0=y_k=0, x_k=4.225, V_0=6.44, α=45°, g=9.8$.

Закон движения:

$V_x=4.55, x=4.55t$;

$V_y=4.55-9.80t, y=4.55t-4.9t^2$.

Из соотношений для t_k:

$t_k>0.46, 4.55t_k-4.9t_k^2=0$

получаем $t_k=0.93$.

При этом рассчитаем точность броска:

$∆=x(t_k )-x_k=4.55\cdot 0.93-4.225=0.006$.

Получили отличную четкость, т.к. диаметр баскетбольного кольца – 29 см, а мяча – 23–24 см.