Понятие компланарности векторов
Для начала рассмотрим, какие вектора называются компланарными.
Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.
Рассмотри, компланарны ли векторы a, b и c на следующем примере. Пусть нам даны три вектора $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$. Тогда
Пары векторов $\overrightarrow{a_1},\ и\ \overrightarrow{a_2}$, $\overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ и $\overrightarrow{a_1}$ и $\overrightarrow{a_3}$ компланарны между собой.
Если два из этих векторов, к примеру $\overrightarrow{a_1},\ и\ \overrightarrow{a_2}$, коллинеарны, то векторы $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ компланарны.
Если $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ лежат в одной плоскости, то они компланарны.
Для дальнейшего рассмотрения напомним следующую теорему.
Произвольный вектор $\overrightarrow{p}$ можно разложить по двум неколлинеарным векторам $\overrightarrow{a_1},\ $ и $\overrightarrow{a_2}$ с единственными коэффициентами разложения, то есть
\[\overrightarrow{p}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{a_2}\]Теоремы, связанные с условием компланарности трех векторов
Пусть нам даны три вектора $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$.
Если один из трех данных векторов можно разложить по двум другим векторам, то есть
\[\overrightarrow{c}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \ \overrightarrow{b}\]где $\alpha $ и $\beta $ - действительные числа, то векторы $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ являются компланарными векторами.
Доказательство.
Здесь возможны два случая.
Векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$ - коллинеарные векторы. Но это условие неприменимо, если одна из координат вектора приравнивается нулю.
В этом случае компланарность векторов $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ очевидна.
Векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$ не являются коллинеарными.
Так как вектор $\overrightarrow{c}$ имеет свое разложение по двум неколлинеарным векторам $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$. Значит эти векторы попадают под условие теоремы 1, и, следовательно, векторы $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ лежат в одной плоскости, то есть являются компланарными.
Теорема доказана.
Если три вектора $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ являются компланарными, а векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$ не являются коллинеарными, то вектор $\overrightarrow{c}$ можно единственным образом разложить по векторам $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b},$ то есть
\[\overrightarrow{c}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \ \overrightarrow{b}\]Доказательство.
Так как векторы $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ компланарны, то значит в произвольной плоскости $\gamma $, которой параллельны эти векторы, можно построить векторы $\overrightarrow{a'}=\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b'}=\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c'}=\overrightarrow{c}$. Так как векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$ не коллинеарны, то и векторы $\overrightarrow{a'}$ и $\overrightarrow{b'}$ не коллинеарны, тогда, по теореме 1, вектор $\overrightarrow{c'}$ можно разложить по векторам $\overrightarrow{a'}$ и $\overrightarrow{b'}$ следующим образом
\[\overrightarrow{c'}=\alpha \overrightarrow{a'}+\beta \ \overrightarrow{b'}\]Причем это разложение единственно.
Следовательно
\[\overrightarrow{c}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \ \overrightarrow{b}\]Которое также единственно.
Теорема доказана.
Признак и критерий компланарности векторов
Пусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\ \overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ и $\overrightarrow{c}=(c_1,c_2,c_3)$. Три вектора будут компланарны, если выполняется следующее условие:
компланарности векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ" />
Рисунок 1. Условие компланарности векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример задачи
Пусть нам дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Разложите вектор $\overrightarrow{A_1C_1}$ по векторам $\overrightarrow{AB}\ и\ \overrightarrow{BC}$.
Рисунок 2. Разложение по векторам. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение.
Так как плоскости $(ABC)$ и ${(A}_1B_1C_1)$ параллельны, и векторы $\overrightarrow{A_1C_1}$, $\overrightarrow{AB}\ и\ \overrightarrow{BC}$ параллельны, следовательно, по определению являются компланарными. Тогда, по теореме 1, вектор $\overrightarrow{A_1C_1}$ можно разложить по векторам $\overrightarrow{AB}\ и\ \overrightarrow{BC}$ единственным образом.
Используя свойства сложения двух векторов, получим
\[\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1C_1}\]Так как
\[\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}\]Следовательно
\[\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\]Ответ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.
Пусть нам дан параллелепипед. Найти тройки компланарных векторов, изображенных в параллелепипеде на рисунке ниже.
Рисунок 3. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение.
Так как векторы $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OE}$ лежат в плоскости $(BOA)$ то эти векторы являются компланарными.
Так как векторы $\overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{{BB}_1}$ лежат в плоскости $(BOC)$ то эти векторы являются компланарными.
Так как векторы $\overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OD}$ и $\overrightarrow{OE}$ лежат в плоскости $(COE)$ то эти векторы являются компланарными.
Доказать, что векторы с координатами $\left(1,\ 13,\ 2\right),\ \left(3,\ -5,\ 2\right)и\ (5,-1,4)$ компланарны.
Решение.
Применим признак компланарности трех векторов.
Найдем определитель
Рисунок 4. Нахождение определителя. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Следовательно, это векторы компланарны, ч. т. д.
