Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Основные понятия

Рассмотрим разновидности систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ).

1. Каноническая СОДУ содержит $k$ дифференциальных уравнений (ДУ), связывающих независимую переменную $x$ и $k$ неизвестных функций $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{k} \left(x\right)$. Каноническая СОДУ разрешена относительно старших производных этих функций $y_{1}^{\left(p_{1} \right)} \left(x\right),\; y_{2}^{\left(p_{2} \right)} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{k}^{\left(p_{k} \right)} \left(x\right)$.

Общий вид канонической СОДУ:

\[\left\{\begin{array}{c} {y_{1}^{\left(p_{1} \right)} \left(x\right)=f_{1} \left(x,y_{1} ,\ldots ,y_{k} ,y'_{1} ,\ldots ,y'_{k} ,\ldots ,y_{1}^{\left(p_{1} -1\right)} ,\ldots ,y_{k}^{\left(p_{1} -1\right)} \right)} \\ {y_{2}^{\left(p_{2} \right)} \left(x\right)=f_{2} \left(x,y_{1} ,\ldots ,y_{k} ,y'_{1} ,\ldots ,y'_{k} ,\ldots ,y_{1}^{\left(p_{1} -1\right)} ,\ldots ,y_{k}^{\left(p_{1} -1\right)} \right)} \\ {\ldots } \\ {y_{k}^{\left(p_{k} \right)} \left(x\right)=f_{k} \left(x,y_{1} ,\ldots ,y_{k} ,y'_{1} ,\ldots ,y'_{k} ,\ldots ,y_{1}^{\left(p_{1} -1\right)} ,\ldots ,y_{k}^{\left(p_{1} -1\right)} \right)} \end{array}\right. .\]
2. СОДУ первого порядка, как правило, записывают в следующем виде: $\left\{\begin{array}{c} {F_{1} \left(x,\; y_{1} ,\; \ldots ,\; y_{n} ,\; y'_{1} ,\; \ldots ,\; y'_{n} \right)=0} \\ {F_{2} \left(x,\; y_{1} ,\; \ldots ,\; y_{n} ,\; y'_{1} ,\; \ldots ,\; y'_{n} \right)=0} \\ {\ldots } \\ {F_{n} \left(x,\; y_{1} ,\; \ldots ,\; y_{n} ,\; y'_{1} ,\; \ldots ,\; y'_{n} \right)=0} \end{array}\right. $.

   Здесь, как обычно, $x$ -- независимая переменная, $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$ -- искомые функции от $x$, а $F_{1} ,\; F_{2} ,\; \ldots ,\; F_{n} $ -- заданные функции. Число $n$ -- порядок системы.

3. Нормальной называется СОДУ первого порядка, которая разрешена относительно производных всех функций. Она имеет следующий вид: $\left\{\begin{array}{c} {y'_{1} =f_{1} \left(x,\; y_{1} ,\; \ldots ,\; y_{n} \right)} \\ {y'_{2} =f_{2} \left(x,\; y_{1} ,\; \ldots ,\; y_{n} \right)} \\ {\ldots } \\ {y'_{n} =f_{n} \left(x,\; y_{1} ,\; \ldots ,\; y_{n} \right)} \end{array}\right. $.
4. Нормальная СОДУ первого порядка, в которой правые части представляют собой линейные комбинации неизвестных функций $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$, записывается так:

$\left\{\begin{array}{c} {y'_{1} =a_{11} \left(x\right)\cdot y_{1} +a_{12} \left(x\right)\cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \left(x\right)\cdot y_{n} } \\ {y'_{2} =a_{21} \left(x\right)\cdot y_{1} +a_{22} \left(x\right)\cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \left(x\right)\cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {y'_{n} =a_{n1} \left(x\right)\cdot y_{1} +a_{n2} \left(x\right)\cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \left(x\right)\cdot y_{n} } \end{array}\right. $.

Такая нормальная СОДУ называется линейной однородной.

5. Нормальная линейная неоднородная СОДУ первого порядка имеет вид: $\left\{\begin{array}{c} {y'_{1} =a_{11} \left(x\right)\cdot y_{1} +a_{12} \left(x\right)\cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \left(x\right)\cdot y_{n} +f_{1} \left(x\right)} \\ {y'_{2} =a_{21} \left(x\right)\cdot y_{1} +a_{22} \left(x\right)\cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \left(x\right)\cdot y_{n} +f_{2} \left(x\right)} \\ {\ldots } \\ {y'_{n} =a_{n1} \left(x\right)\cdot y_{1} +a_{n2} \left(x\right)\cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \left(x\right)\cdot y_{n} +f_{n} \left(x\right)} \end{array}\right. $.

В ней хотя бы одна из функций $f_{k} \left(x\right)$ тождественно не равна нулю.

6. Нормальная СОДУ, имеющая вид$\left\{\begin{array}{c} {y'_{1} =a_{11} \cdot y_{1} +a_{12} \cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \cdot y_{n} } \\ {y'_{2} =a_{21} \cdot y_{1} +a_{22} \cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {y'_{n} =a_{n1} \cdot y_{1} +a_{n2} \cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \cdot y_{n} } \end{array}\right. $,

где коэффициенты $a_{jk} ,\; 1\le j,k\le n$ -- заданные действительные числа, называется линейной однородной с постоянными коэффициентами.

Решение нормальной СОДУ

Решением нормальной СОДУ

$\left\{\begin{array}{c} {y'_{1} =f_{1} \left(x,\; y_{1} ,\; \ldots ,\; y_{n} \right)} \\ {y'_{2} =f_{2} \left(x,\; y_{1} ,\; \ldots ,\; y_{n} \right)} \\ {\ldots } \\ {y'_{n} =f_{n} \left(x,\; y_{1} ,\; \ldots ,\; y_{n} \right)} \end{array}\right. $

на некотором интервале $\left(a,b\right)$ называется совокупность функций $y_{1} =y_{1} \left(x\right),\; y_{2} =y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} =y_{n} \left(x\right)$, определенных и непрерывно дифференцируемых на этом интервале, если она обращает все уравнения системы в тождества, справедливые для всех значений $x$ из этого интервала.

Задача Коши для нормальной СОДУ состоит в том, чтобы найти её решение $y_{1} =y_{1} \left(x\right),\; y_{2} =y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} =y_{n} \left(x\right)$, удовлетворяющее начальным условиям $y_{1} \left(x_{0} \right)=y_{1}^{0} ,\; y_{2} \left(x_{0} \right)=y_{2}^{0} ,\; \ldots ,\; y_{n} \left(x_{0} \right)=y_{n}^{0} $, где $y_{1}^{0} ,\; y_{2}^{0} ,\; \ldots ,\; y_{n}^{0} $ -- заданные числа. Если все функции $f_{i} \left(x,\; y_{1} ,\; \ldots ,\; y_{n} \right),\; i=1,\; 2,\; \ldots ,\; n$, а также все их частные производные по $y_{j} ,\; j=1,\; 2,\; \ldots ,\; n$ -- непрерывны, то решение задачи Коши существует и является единственным.

Совокупность функций $y_{i} =y_{i} \left(x,C_{1} ,C_{2} ,\ldots ,C_{n} \right),\; i=1,2,\ldots ,n$, зависящая не только от аргумента $x$, но и от $n$ произвольных постоянных, называется общим решением нормальной СОДУ. Частные решения, как обычно, получают из общего при конкретных значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных можно получить с помощью начальных условий, решив следующую систему:

Рассмотрим общий метод решения нормальной СОДУ.

Предположим, что задано ДУ $n$-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, то есть $y^{\left(n\right)} =f\left(x,\; y,\; y',\; \ldots ,\; y^{\left(n-1\right)} \right)$.

Выполним замены: $y=z_{1} $, $y'=z_{2} $, \dots , $y^{\left(n-1\right)} =z_{n} $.

Благодаря этим заменам мы получаем возможность записать следующую совокупность соотношений:

Теперь отсюда можем получить нормальную СОДУ:

Отсюда следует вывод, что любое ДУ $n$-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, эквивалентно нормальной СОДУ.

Справедливо и обратное: любая нормальная СОДУ эквивалентна одному ДУ $n$-го порядка.