Определение
Степенно-показательная функция -- это функция вида:
\[y(x)=f(x)^{g(x)} \]Например:
\[y(x)=x^{x-1} \] \[y(x)=\arccos x^{2\sqrt{x} } \]Нахождение производных степенно-показательных функций
Выделяют три способа нахождения таких производных.
Способ 1
По формуле сложной функции комбинирующей производную показательной и степенной функций
\[f(x)^{g(x)} =g(x)f(x)^{g(x)-1} f'(x)+f(x)^{g(x)} \cdot \ln f(x)g'(x)\]или
\[f(x)^{g(x)} =f(x)^{g(x)} \cdot \ln f(x)g'(x)+g(x)f(x)^{g(x)-1} f'(x)\]Способ 2
С помощью метода логарифмического дифференцирования
\[y(x)=f(x)^{g(x)} \] \[\ln y(x)=\ln f(x)^{g(x)} \] \[\ln y(x)=g(x)\cdot \ln f(x)\] \[\left(\ln y(x)\right){{'} } =\left(g(x)\cdot \ln f(x)\right){{'} } \] \[\frac{y'(x)}{y(x)} =g'(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot ln'f(x)\] \[y'(x)=y(x)\left(g'(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot ln'f(x)\right)\] \[y'(x)=f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot ln'f(x)\right)\]Способ 3
По свойствам логарифмов
\[y(x)=f(x)^{g(x)} =e^{\ln f(x)^{g(x)} } =e^{g(x)\ln f(x)} \] \[y'(x)=\left(e^{g(x)\ln f(x)} \right){{'} } =e^{g(x)\ln f(x)} \cdot \left(g(x)\ln f(x)\right){{'} } \] \[y'(x)=e^{g(x)\ln f(x)} \cdot \left(g'(x)\ln f(x)+g(x)ln'f(x)\right)\] \[y'(x)=f(x)^{g(x)} \cdot \left(g'(x)\ln f(x)+g(x)ln'f(x)\right)\]Пример 1
Найти производную функции
\[y(x)=\left(arctgx\right)^{x+2} \]Решение.
- Введем обозначения \[f(x)=arctgx\] \[g(x)=x+2\]
- Найдем производную по формуле \[f(x)^{g(x)} =g(x)f(x)^{g(x)-1} f'(x)+f(x)^{g(x)} \cdot \ln f(x)g'(x)\] \[y'(x)=(x+2)(arctgx)^{x+2-1} (arctgx)'+(arctgx)^{x+2} \cdot \ln (arctgx)(x+2)'\] \[y'(x)=(x+2)(arctgx)^{x+1} \frac{1}{1+x^{2} } +(arctgx)^{x+2} \cdot \ln (arctgx)\]
- Упростим выражение \[y'(x)=\frac{(x+2)(arctgx)^{x+1} }{1+x^{2} } +(arctgx)^{x+2} \cdot \ln (arctgx)\] \[y'(x)=(arctgx)^{x+1} \left(\frac{(x+2)}{1+x^{2} } +(arctgx)\cdot \ln (arctgx)\right)\]
Пример 2
Найти производную функции
\[y(x)=\left(\sin x\right)^{x} \]Решение.
- Введем обозначения \[f(x)=\sin x\] \[g(x)=x\]
- Найдем производную по формуле \[y'(x)=f(x)^{g(x)} \cdot \left(g'(x)\ln f(x)+g(x)ln'f(x)\right)\] \[y'(x)=\left(\sin x\right)^{x} \cdot \left(x'\ln \left(\sin x\right)+xln'\left(\sin x\right)\right)\] \[y'(x)=\left(\sin x\right)^{x} \cdot \left(\ln \left(\sin x\right)+x\cdot \frac{1}{\sin x} \left(\sin x\right){{'} } \right)\]
- Упростим \[y'(x)=\left(\sin x\right)^{x} \cdot \left(\ln \left(\sin x\right)+x\cdot \frac{\cos x}{\sin x} \right)\] \[y'(x)=\left(\sin x\right)^{x} \cdot \left(\ln \left(\sin x\right)+x\cdot ctgx\right)\]
Пример 3
Найти производную функции
\[y(x)=\left(\arccos x\right)^{3x} \]Решение.
- Введем обозначения \[f(x)=\arccos x\] \[g(x)=2x\]
- Найдем производную по формуле \[y'(x)=f(x)^{g(x)} \cdot \left(g'(x)\ln f(x)+g(x)ln'f(x)\right)\] \[y'(x)=\left(\arccos x\right)^{3x} \cdot \left(3x'\cdot \ln \left(\arccos x\right)+3xln'\left(\arccos x\right)\right)\] \[y'(x)=\left(\arccos x\right)^{3x} \cdot \left(3\cdot \ln \left(\arccos x\right)+3x\cdot \frac{1}{\arccos x} \left(\arccos x\right){{'} } \right)\] \[y'(x)=\left(\arccos x\right)^{3x} \cdot \left(3\cdot \ln \left(\arccos x\right)-3x\cdot \frac{1}{\arccos x} \cdot \frac{1}{1-x^{2} } \right)\]
- Упростим \[y'(x)=3\left(\arccos x\right)^{3x} \cdot \left(\ln \left(\arccos x\right)-\frac{x}{\left(1-x^{2} \right)\arccos x} \right)\]
Дата последнего обновления статьи: 11.12.2023
