Дифференцируя производную первого порядка $f'(x)$, мы получим производную от производной -- производную второго порядка. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка, а производная $n$-го порядка называется производной от производной $n-1$-го порядка.
Производная второго порядка обозначается $y''$ или $f''(x)$. Таким образом, дифференцируя функцию $n$-раз, мы получим производную вида $f n(x)$.
Формула дифференцирования второго порядка имеет вид:
Производная n-го порядка равна нулю, если степень меньше порядка производной. Например, пятая производная функции $y = 5x^2$ равна нулю.
Найти вторую производную функции:
\[y=x\ln (2x+1)\]Решение.
- Найдем производную первого порядка сложной функции по формуле произведения: \[\left[f(x)\cdot g(x)\right]{{'} } =f(x)'\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)'\] \[y'=\left[x\cdot \ln (2x+1)\right]{{'} } =x'\cdot \ln (2x+1)+x\cdot \left(\ln (2x+1)\right){{'} } =1\cdot \ln (2x+1)+x\cdot \left(\ln (2x+1)\right){{'} } =\] \[y'=\ln (2x+1)+x\cdot \left(\ln (2x+1)\right){{'} } =\ln (2x+1)+x\cdot \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)'=\] \[=\ln (2x+1)+2x\cdot \frac{1}{2x+1} =\ln (2x+1)+\frac{2x}{2x+1} \]
- Найдем производную второго порядка для выражения \[y''=\left(\ln (2x+1)+\frac{2x}{2x+1} \right){{'} } =\ln (2x+1)'+\left(\frac{2x}{2x+1} \right){{'} } =\frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)'+\frac{2x'\cdot (2x+1)-2x\cdot (2x+1)'}{\left(2x+1\right)^{2} } =\] \[y''=\frac{2}{2x+1} +\frac{2(2x+1)-2x\cdot 2}{\left(2x+1\right)^{2} } =\frac{2}{2x+1} +\frac{2((2x+1)-2x)}{\left(2x+1\right)^{2} } =\frac{2}{2x+1} +\frac{2}{\left(2x+1\right)^{2} } =\]
- Упростим выражение \[y''=\frac{2\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^{2} } +\frac{2}{\left(2x+1\right)^{2} } =\frac{2\left(2x+1\right)+2}{\left(2x+1\right)^{2} } =\frac{4x+4}{\left(2x+1\right)^{2} } \]
Статья: Производные высших порядков
Найти производную четвертого порядка
\[y=x^{5} -x^{4} +3x^{3} \]Решение.
- Найдем производную первого порядка \[y'=\left(x^{5} -x^{4} +3x^{3} \right){{'} } =5x^{4} -4x^{3} +3\cdot 3x^{2} =5x^{4} -4x^{3} +9x^{2} \]
- Найдем производную второго порядка \[y''=\left(5x^{4} -4x^{3} +9x^{2} \right){{'} } =20x^{3} -12x^{2} +18x\]
- Найдем производную третьего порядка \[y'''=\left(20x^{3} -12x^{2} +18x\right){{'} } =60x^{2} -24x+18\]
- Найдем производную четвертого порядка \[y''''=\left(60x^{2} -24x+18\right){{'} } =120x-24\]
Найти производную четвертого порядка функции
\[y=\frac{x^{2} +5x^{3} }{18} \]Решение: Самая большая степень составного неизвестного равна 3, что меньше степени производной, а значит, производная четвертого порядка равна 0.
Найти производную 13-го порядка функции
\[y=\sin x\]Решение.
- Найдем производную первого порядка \[y'=sin'x=\cos x=\sin (x+\frac{\pi }{2} )\]
- Найдем производную второго порядка \[y''=cos'x=-\sin x=\sin (x+2\frac{\pi }{2} )\]
- Найдем производную третьего порядка \[y'''=-sin'x=-\cos x=\sin (x+3\frac{\pi }{2} )\]
- Найдем производную четвертого порядка \[y^{(4)} =-\cos x'=\sin x=\sin (x+4\frac{\pi }{2} )\]
- Найдем производную 13-го порядка: \[y^{(13)} =\sin (x+\frac{13\cdot \pi }{2} )=\cos x\]
Таким образом:
\[y^{(n)} =\sin (x+\frac{n\cdot \pi }{2} ),n\in N\]Найти производную n-порядка функции
\[y=\frac{x}{1-x} \]Решение.
- Найдем производную первого порядка \[y'=\left(\frac{x}{1-x} \right){{'} } =\frac{x'(1-x)-x(1-x)'}{(1-x)^{2} } =\frac{1-x+x}{(1-x)^{2} } =\frac{1}{(1-x)^{2} } =\frac{1!}{(1-x)^{1+1} } \]
- Найдем производную второго порядка \[y''=\left(\frac{1}{(1-x)^{2} } \right){{'} } =\left((1-x)^{-2} \right){{'} } =-2(1-x)^{-3} (1-x)'=-2(1-x)^{-3} \cdot (-1)=\frac{2}{(1-x)^{3} } =\frac{2!}{(1-x)^{2+1} } \]
- Найдем производную 3 порядка \[y'''=\left(\frac{2}{(1-x)^{3} } \right){{'} } =2\left((1-x)^{-3} \right){{'} } =2\cdot \left(-3\right)(1-x)^{-4} (1-x)'=-6\cdot (1-x)^{-4} \cdot (-1)=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{(1-x)^{4} } =\frac{3!}{(1-x)^{3+1} } \]
Выведем формулу производной $n$-порядка
\[y^{(n)} =\frac{n!}{(1-x)^{n+1} } \]Найти значение второй производной в точке 1
\[y=e^{2x-1} \]Решение.
- Найдем производную первого порядка \[y'=\left(e^{2x-1} \right){{'} } =e^{2x-1} \cdot 2\]
- Найдем производную второго порядка \[y''=\left(2\cdot e^{2x-1} \right){{'} } =2\cdot e^{2x-1} \cdot 2=4e^{2x-1} \]
- Найдем производную в точке 1 \[y''=4e^{2x-1} =4e^{2\cdot 1-1} =4e\]
