Введем сначала определение треугольника.
Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех отрезков, вершинами которых являются три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 1).
Отрезки называются при этом сторонами треугольника, а концы отрезков - вершинами треугольника.
Рисунок 1. Треугольник
Сумма углов треугольника
Рассмотрим теорему о сумме углов треугольника.
Сумма углов любого треугольника равна ${180}^0.$
Доказательство.
Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Докажем, что сумма его углов равна ${180}^0$. Построим прямую $a||AC$ (рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Так как $a||AC$, то $\angle A=\angle ACD,\ \angle B=\angle BCE$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущих $AC$ и $BC$, соответственно.
Так как $\angle DCE$ -- развернутый, то он равен ${180}^0$.
Получаем
То есть
Теорема доказана.
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
Перед тем, как ввести следующую теорему, введем понятие внешнего угла треугольника.
Внешний угол треугольника -- угол, смежный с углом треугольника (рис. 3).
Введем теорему о внешнем угле треугольника:
Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним углов треугольника.
Доказательство.
Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Рассмотрим внешний угол треугольника $\angle BCD$ (рис. 3).
Рисунок 3. Внешний угол треугольника
По теореме 1 $\angle A+\angle C+\angle B={180}^0$, то есть $\angle C={180}^0-(\angle A+\angle B)$.
С другой стороны
Теорема доказана.
В любом треугольнике:
-
Против большей стороны лежит больший угол.
-
Против большего угла лежит большая сторона.
Доказательство.
-
Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$, такой, что сторона $AB>AC$. Докажем, что угол $\angle C>\angle B$.
Построим на стороне $AB$ отрезок $AD=AC$ (рис. 4).
Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 3Очевидно, что отрезок $CD$ лежит внутри треугольника $ABC$. Угол $ADC$ - внешний угол треугольника $BDC$, следовательно, по теореме 2, $\angle ADC >\angle B$. Так как $AD=AC$, то треугольник $DCA$ - равнобедренный. Следовательно, $\angle ADC=\angle DCA$, значит $\angle DCA>\angle B$. Получаем
\[\angle C >\angle DCA >\angle B\] -
Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$, такой, что $\angle C>\angle B$. Докажем, что $AB>AC$.
Предположим противное, что $\ AB\le AC$. Рассмотрим два случая:
- $AB
Тогда по первому пункту этой теоремы $\angle B >\angle C$. Противоречие.
- $AB=AC$.
Тогда треугольник $ABC$ равнобедренный, и, следовательно, $\angle B=\angle C$. Противоречие.
Значит $AB >AC$.
Теорема доказана.
Неравенство треугольника
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Доказательство.
Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Докажем, что$AB
Рисунок 5. Иллюстрация теоремы 4
Так как $CD=BC$, то треугольник $BCD$ равнобедренный, следовательно, $\angle CBD=\angle D$. Тогда $\angle ABD >\angle D$. Значит $AD >AB$. Так как
То
Теорема доказана.Пример задачи на соотношение между сторонами и углами треугольника
Сравнить стороны треугольника $ABC$, если $\angle A
Решение.
Для решения используем второй пункт теоремы 3.
Получим, что
\[BC
