Правило вычисления произведения многочленов.
Для того чтобы рассмотреть произведение многочленов, для начала вспомним, как умножить одночлен на многочлен.
Произведение одночлена и многочлена находится следующим образом:
- составляется произведение одночлена и многочлена.
- раскрываются скобки.
- группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
- перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Рассмотрим теперь умножение двух многочленов на примере:
Умножим многочлен $x-y+z$ на многочлен $\ {xy}^5+y^6-{xz}^5$.
Вначале запишем произведение многочленов:
\[\left(x-y+z\right)({xy}^5+y^6-{xz}^5)\]Сделаем следующую замену. Пусть $x-y+z=t$, получим:
\[t\cdot ({xy}^5+y^6-{xz}^5)\]Получили произведение одночлена на многочлен. Найдем его по выше изложенному правилу.
Раскроем скобки:
\[t\cdot \left({xy}^5+y^6-{xz}^5\right)={txy}^5+{ty}^6-{txz}^5\]Сделаем обратную замену:
\[{\left(x-y+z\right)xy}^5+{\left(x-y+z\right)y}^6-{\left(x-y+z\right)xz}^5\]В данном выражении мы видим присутствие трех произведений одночленов на многочлен. Найдем их по отдельности по выше изложенному правилу:
\[{\left(x-y+z\right)xy}^5=x{xy}^5-y{xy}^5+z{xy}^5={x^2y}^5-{xy}^6+z{xy}^5\] \[{\left(x-y+z\right)y}^6=xy^6-yy^6+zy^6=xy^6-y^7+zy^6\] \[{\left(x-y+z\right)xz}^5=x{xz}^5-y{xz}^5+z{xz}^5=x^2z^5-xyz^5+{xz}^6\]Перепишем наше выражение:
\[\left({x^2y}^5-{xy}^6+z{xy}^5\right)+\left(xy^6-y^7+zy^6\right)-(x^2z^5-xyz^5+{xz}^6)\]Раскроем скобки. Напомним, что если перед скобками стоит знак плюс, то знаки в скобках остаются неизменными, а если перед скобками стоит знак минус, то знаки в скобках изменятся на противоположные. Получим
\[{x^2y}^5-{xy}^6+z{xy}^5+xy^6-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-{xz}^6\]Получили многочлен. Осталось только привести его к стандартному виду. Итого, в ответе, получим:
\[{x^2y}^5+xy^5z-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-{xz}^6\]Присмотревшись к полученному результату, мы получим следующее правило умножения многочлена на многочлен:
Правило: Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.
Выполнить умножение $2x+y$ и $x^2+2y+3$.
Запишем произведение:
\[\left(2x+y\right)(x^2+2y+3)\]Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
\[\left(2x+y\right)\left(x^2+2y+3\right)=2x^3+4xy+6x+x^2y+2y^2+3y\]Видим, что полученный многочлен имеет стандартный вид, значит умножение закончено.
Примеры задач на произведение многочленов
Выполнить умножение многочлена на многочлен:
а) $(2z+1)\ и\ (z^2-7z-3)$
б) $(1-4x^2)\ и\ (5y^2-3x-2)$
в) $(2n-5n^3)\ и\ (3n^2-n^3+n)$
г) $(a^2+a+1)\ и\ (a^2-24a+6)$
Решение:
а) $(2z+1)\ и\ (z^2-7z-3)$
Составим произведение:
\[(2z+1)\cdot (z^2-7z-3)\]Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
\[2z^3-14z^2-6z+z^2-7z-3\]Приведем данный многочлен к стандартному виду:
\[2z^3-13z^2-13z-3\]б) $(1-4x^2)\ и\ (5y^2-3x-2)$
Составим произведение:
\[(1-4x^2)\cdot (5y^2-3x-2)\]Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
\[5y^2-3x-2-20x^2y^2+12x^3+8x^2\]Видим, что полученный многочлен имеет стандартный вид, следовательно:
Ответ: $5y^2-3x-2-20x^2y^2+12x^3+8x^2$.
в) $(2n-5n^3)\ и\ (3n^2-n^3+n)$
Составим произведение:
\[(2n-5n^3)\cdot (3n^2-n^3+n)\]Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
\[6n^3-2n^4+2n^2-15n^5+5n^6-5n^4\]Приведем данный многочлен к стандартному виду:
\[6n^3-7n^4+2n^2-15n^5+5n^6\]г) $(a^2+a+1)\ и\ (a^2-24a+6)$
Составим произведение:
\[(a^2+a+1)\cdot (a^2-24a+6)\]Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
\[a^4-24a^3+6a^2+a^3-24a^2+6a+a^2-24a+6\]Приведем данный многочлен к стандартному виду:
\[a^4-23a^3-17a^2-18a+6\]
