Студенческая работа на тему:

Вариант 1 Игра задана платежной матрицей Найти общее решение игры Решение Применим к данной игре принцип доминируемости

Создан заказ №4053485

24 мая 2019

Вариант 1 Игра задана платежной матрицей Найти общее решение игры Решение Применим к данной игре принцип доминируемости

Как заказчик описал требования к работе:

Срочно решить контрольную работу по теории вероятности из 6 задач в двух вариантах. Все решения нужно подробно расписать.

Фрагмент выполненной работы:

Вариант 1 Игра задана платежной матрицей. Найти общее решение игры. Решение. Применим к данной игре принцип доминируемости, т.е. уберем стратегии, заведомо невыгодные игрокам. Т.к. игрок 2, выбирая 3-ю стратегию, заведомо в любой ситуации получит больший проигрыш, чем выбирая свою 1-ю стратегию (т.к. ai3 > ai1, i= 1,2,3), то 3-ю стратегию игрока 2 можно исключить из рассмотрения, а из платежной матрицы убрать 3-й столбец. В итоге получим матрицу 3 6 1 5 7 2 В полученной матрице т.к. (работа была выполнена специалистами author24.ru) игрок 1, выбирая 2-ю стратегию, заведомо в любой ситуации получит меньший выигрыш, чем выбирая свою 1-ю стратегию (т.к. a2j < a1j, j= 1,2), то 2-ю стратегию игрока 1 можно исключить из рассмотрения, а из платежной матрицы убрать 2-ю строку. Таким образом, получим матричную игру с платежной матрицей 3 6 7 2 Найдем нижнюю цену игры, для этого добавим к платёжной матрице новый столбец, состоящий из минимумов по каждой строке. i/j 1 2 min aij по строке 1 3 6 3 3 7 2 2 max aij по столбцу 7 6 В последнем столбце среди минимумов найдем максимум. Т.е. нижняя цена игры v1 = 3. Найдем верхнюю цену игры, для этого добавим к платёжной матрице новую строку, состоящую из максимумов по каждому столбцу. В последней строке среди максимумов найдем минимум. Т.е. верхняя цена игры v2 = 6. Т.к. нижняя и верхняя цены игры не совпадают, v1 v2, то игра не имеет седловую точку и не имеет решение в чистых стратегиях. Будем искать решение игры в смешанных стратегиях. Воспользуемся преобразованной платежной матрицей 2х2 i/j 1 2 1 3 6 3 7 2 Пусть x = (x1, x3) – оптимальная смешанная стратегия 1-го игрока, y = (y1, y2) – оптимальная смешанная стратегия 2-го игрока, v – цена игры. Тогда оптимальная смешанная стратегия 1-го игрока определяется как решение следующей системы уравнений: (1) Оптимальная смешанная стратегия 2-го игрока определяется как решение следующей системы уравнений: (2) Найдем решение игры методом Лагранжа. Составим функцию Лагранжа для нашей игры: L = v + 1(x1 + x3 – 1) + 2(y1 + y2 – 1), где цена игры определяется по формуле: v = (a11x1 + a21x3)y1 + (a12x1 + a22x3)y2, окончательно получим L = (a11x1 + a21x3)y1 + (a12x1 + a22x3)y2 + 1(x1 + x3 – 1) + 2(y1 + y2 – 1) Приравняем к 0 все частные производные по всем аргументам, получим следующую систему уравнений: Решая эту систему, приходим к следующим выражениям для элементов оптимальных стратегий: k = a11 + a22 – a12 – a21 Получим: k = 3 + 2 – 6 – 7 = –8 v = (30,625 + 70,375)0,5 + (60,625 + 20,375)0,5 = 4,5 Найдем решение игры методом Крамера. Решим систему (1). Запишем ее в виде: или в матричном виде Ах = b, где Вычислим определители: Тогда по формулам Крамера получим: Решим систему (2). Запишем ее в виде: или в матричном виде Ах = b, где Вычислим определители: Тогда по формулам Крамера получим: Найдем решение игры методом обратной матрицы. Решим систему (1). Решение ищется по формуле: x = A–1b Обратная матрица определяется по формуле: , где – алгебраическое дополнение к элементу аij. A11==0 – (–1) = 1, A12= –=–(0 – (–1)) = –1, A13= =6 – 2 = 4, A21== –(0 – (–1)) = –1, A22= –= 0 – (–1)) = 1, A23= = –(3 – 7) = 4, A31== –7 – (–2) = –5, A32= –= –(–3 – (–6)) = –3, A33= =6 – 42 = –36. Тогда Найдем х = A–1b = Получили решение Решим систему (2). Решение ищется по формуле: y = A–1b A11==0 – (–1) = 1, A12= –=–(0 – (–1)) = –1, A13= =7 – 2 = 5, A21== –(0 – (–1)) = –1, A22= –= 0 – (–1)) = 1, A23= = –(3 – 6) = 3, A31== –6 – (–2) = –4, A32= –= –(–3 – (–7)) = –4, A33= =6 – 42 = –36. Тогда Найдем y = A–1b = Получили решение Тремя способами получили решение матричной игры: x = (0,625; 0; 0,375) – оптимальная смешанная стратегия 1-го игрока, y = (0,5; 0,5; 0) – оптимальная смешанная стратегия 2-го игрока, v = 4,5 – цена игры. Решение: x = (0,625; 0; 0,375) – оптимальная смешанная стратегия 1-го игрока, y = (0,5; 0,5; 0) – оптимальная смешанная стратегия 2-го игрока, v = 4,5 – цена игрыПосмотреть предложения по расчету стоимости