выполнено на сервисе Автор24

Студенческая работа на тему:

Задание Провести идентификацию эмпирической математической модели в случаях А) и Б)

Решение задач Теория вероятностей

Создан заказ №4116408

11 июня 2019

Задание Провести идентификацию эмпирической математической модели в случаях А) и Б)

Как заказчик описал требования к работе:

Решить задачу(расписать): Провести идентификацию эмпирической математической модели в случаях а и в

Фрагмент выполненной работы:

Задание Провести идентификацию эмпирической математической модели в случаях А) и Б). А) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка W = a0 + a1x + a2x2, 0 ≤ x ≤ 10. Б) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 3-го порядка W = a0 + a1x + a2x2+ a3x3 0 ≤ x ≤ 10. Считаем, что величина х измеряется точно, а W – с ошибкой , имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией М() = 0, 𝜎2() = 1. (работа была выполнена специалистами author24.ru) Проверить адекватность модели методом Фишера и сравнить модели А) и Б) графически с моделью линейной регрессии. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18,1 25,3 29,4 28,5 32 36,5 47,6 45,2 39,9 56 65,3 Решение: Под идентификацией эмпирической математической модели понимается оценка параметров модели (коэффициентов). Для нахождения коэффициентов уравнения применим метод наименьших квадратов (МНК). Для этого необходимо минимизировать функцию: , где N – число наблюдений в выборке, – отклонения (остатки). Необходимым условием существования минимума функции является равенство нулю частных производных данной функции по параметрам модели. Получается система нормальных уравнений, решение которой дает искомые параметры. Введем обозначения , , , Система нормальных уравнений (после применения МНК) в матричной форме имеет вид: (XTX)A=XTW. Тогда вектор коэффициентов уравнения рассчитывается следующим образом: A=(XTX)-1⋅XTW. А) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка W = a0 + a1x + a2x2, 0 ≤ x ≤ 10. Составим матрицу коэффициентов: x x2 1 0 0 18,1 1 1 1 25,3 1 2 4 29,4 1 3 9 28,5 1 4 16 W = 32 1 5 25 36,5 1 6 36 47,6 1 7 49 45,2 1 8 64 39,9 1 9 81 56 1 10 100 65,3 Рассчитаем следующие матрицы: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 11 55 385 0,5804 -0,2203 0,0175 55 385 3025 -0,2203 0,1256 -0,0117 385 3025 25333 0,0175 -0,0117 0,0012 423,8 21,1098 2558,3 2,2932 19371,9 0,1700 Таким образом, параметры модели равны A=21,10982,29320,17, а одномерное уравнение 2-го порядка выглядит следующим образом W=21,1098+2,2932x+0,17x2. Б) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 3-го порядка W = a0 + a1x + a2x2+ a3x3 0 ≤ x ≤ 10. Составим матрицу коэффициентов: x x2 x3 1 0 0 0 18,1 1 1 1 1 25,3 1 2 4 8 29,4 1 3 9 27 28,5 1 4 16 64 W = 32 1 5 25 125 36,5 1 6 36 216 47,6 1 7 49 343 45,2 1 8 64 512 39,9 1 9 81 729 56 1 10 100 1000 65,3 Рассчитаем следующие матрицы: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 11 55 385 3025 55 385 3025 25333 385 3025 25333 220825 3025 25333 220825 1978405 0,7902 -0,5536 0,1049 -0,0058 -0,5536 0,6553 -0,1505 0,0093 0,1049 -0,1505 0,0376 -0,0024 -0,0058 0,0093 -0,0024 0,0002 423,8 18,3245 2558,3 6,7187 19371,9 -0,9905 159978,5 0,0774 Таким образом, параметры модели равны A=18,32456,7187-0,99050,0774, а одномерное уравнение 3-го порядка выглядит следующим образом W=18,3245+6,7187x-0,9905x2+0,0774x3. Поскольку величина W имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией М() = 0, 𝜎2() = 1, то можно применять критерий Фишера для проверки адекватности моделей. Для проверки гипотезы об адекватности модели используется вычисляется расчетное значение: Fрасч=Sад2S{w}2, где Sад2=i=1N(Wi-Wi)2N-(m+1)– дисперсия адекватности, S2{w}=i=1N(Wi-W)2N-1 – общая дисперсия (воспроизводимости), m – число объясняющих переменных в уравнении. Критерий Фишера сравнивается с табличным, который определяется по таблице распределения Фишера для числа степеней свободы f1=N-(m+1), соответствующее числителю, и f2=N-1, соответствующее дисперсии воспроизводимости, при уровне значимости α...Посмотреть предложения по расчету стоимости