Создан заказ №713752
6 октября 2015
Емельянов Л А Емельянова Т Л Три загадочные точки в треугольнике Вводная часть Пусть в треугольнике АВС вписанная окружность
Как заказчик описал требования к работе:
Чертежи к задачам необходимо сделать в программе "Живая геометрия"
Фрагмент выполненной работы:
Емельянов Л.А., Емельянова Т.Л.
Три загадочные точки в треугольнике
Вводная часть
Пусть в треугольнике АВС вписанная окружность, имеющая центром точку I, касается сторон ВС, СА, АВ в точках A΄, В΄, С΄ соответственно. Отразим точку I относительно сторон треугольника А΄В΄С΄ и обозначим полученные точки L1, L2 и L3 (рис. 1).
Рис. 1
В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: основания высот АВС – Н1, Н2, Н3 (рис. (работа была выполнена специалистами Автор 24) 1); углы АВС – ; стороны АВС – , , ; окружность, проходящая через точки X, Y, Z – (XYZ), центр описанной окружности АВС – точка О. Треугольник А΄В΄С΄ называется треугольником Жергонна.
Предлагаем доказать следующие факты, относящиеся к точкам L1, L2 и L3.
1. Отразим центр описанной окружности произвольного треугольника относительно его сторон. Три полученные таким образом точки являются вершинами треугольника, центрально-симметричного исходному.
Следствие. L1L2L3 центрально-симметричен А΄В΄С΄.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник KMN, где Q – цент описанной окружности. Середины сторон MN и KN обозначим K0 и M0 соответственно. Точки K1 и M1 симметричные относительно сторон треугольника MN и KN (рис. 2).
Построим треугольник K1 Q M1. Поскольку Точки K1 и M1 симметричные относительно сторон треугольника MN и KN, то отрезок K0M0 – средняя линия для треугольников KMN и K1 Q M1, отрезки K1M1 и KM равны и параллельны, что означает центральную симметричность рассмотренных треугольников. Рассматривая рис.2 легко доказать для других пар сторон и как следствие L1L2L3 центрально-симметричен А΄В΄С΄(рис.1).
2. L1, L2 и L3 – ортоцентры треугольников АВ΄С΄, ВС΄А΄ и СА΄В΄ соответственно.
Доказательство:
Рассмотрим треугольник AB’C’(рис.3).
Из рисунка, следовательно, , . Аналогично . Вывод: - ортоцентр треугольника AB’C’.
Рассмотрим треугольник A’BC’(рис.3).
Из рисунка, следовательно, , . Аналогично . Вывод: - ортоцентр треугольника A’BC’.
Рассмотрим треугольник A’B’C (рис.3).
Из рисунка, следовательно, , . Аналогично . Вывод: - ортоцентр треугольника A’B’C.
3. Биссектрисы АВС являются высотами L1L2L3. Таким образом, центр I вписанной окружности – ортоцентр L1L2L3. Аналогично, центр окружности (L1L2L3) – точка H – ортоцентр треугольника Жергонна.
Доказательство
Биссектриса AL1 перпендикулярна B’C’ – стороне треугольника A‘B‘C‘ , и L2L3 - стороне треугольника L1L2L3. Следовательно AL1 высота треугольника L1L2L3.
Биссектриса BL2 перпендикулярна A’C’ – стороне треугольника A‘B‘C‘ , и L1L3 - стороне треугольника L1L2L3. Следовательно BL2 высота треугольника L1L2L3.
Биссектриса CL3 перпендикулярна A’B’ – стороне треугольника A‘B‘C‘ , и L1L2 - стороне треугольника L1L2L3. Следовательно CL3 высота треугольника L1L2L3.
(Рис.3а)
4. L1, L2 и L3 – центры вписанных окружностей для треугольников АН2Н3, ВН3Н1 и СН1Н2 соответственно.
Доказательство
Докажем утверждение для L1 (рис.4). Точки В, С, Н2, Н3 лежат на окружности с диаметром ВС . Следовательно, Следовательно, треугольники АН2Н3 и АВС подобны с коэффициентом . Из подобия треугольников следует, что расстояния от точки А до центра вписанной окружности треугольника АН2Н3 определяется как . С другой стороны
.
Таким образом, точка L1 – центр вписанной окружности треугольника АН2Н3 .
Для точок L2 и L3 размышления аналогичны.
5. Общие попарные внешние касательные к окружностям, вписанным в треугольники АН2Н3, ВН3Н1 и СН1Н2, (отличные от сторон АВС) пересекаются в одной точке – центре окружности (L1L2L3) (рис.2а).
Рис. 2а
Доказательство
Треугольники А’В’С’ и L1L2L3 центральносимметричные. Точки L1 L2 и L3 получены отражением центра описанной окружности треугольника А’В’С’ относительно его сторон. Значит, точки А’, В’ и С’ являются отражениями центра описанной окружности треугольника L1L2L3 относительно его сторон, то есть, относительно линий центров, определенных в условиях задачи, окружностей. Точки А’, В’ и С’ лежат на сторонах треугольника А’В’С’, т.е. на попарных касательных к этим окружностям, следовательно, центр описанной окружности треугольника L1L2L3 лежит на вторых касательных к окружностям (рис.5).
6. Общие внешние касательные из задачи 5 параллельны сторонам ортотреугольника .
Доказательство
Используя
Решение:
задачи, имеем Следовательно, при отражении относительно биссектрисы угла А прямая перейдет в параллельную ВС прямую. С другой стороны вторая касательная к окружностям, вписанным в треугольники , симметричная ВС относительно , которая перпендикулярна биссектрисе угла А, поэтому эта касательная при отражении относительно биссектрисы также перейдет в прямую, параллельную ВС. Значит, вторая касательная и прямая параллельные (рис.6).
7. Прямые и (см. задачу 3) перпендикулярны сторонам АВС. (Определение: Если прямые, проведённые из вершин одного треугольника перпендикулярно соответствующим сторонам другого треугольника, пересекаются в одной точке, то второй треугольник называется ортологичным первому относительно этой точки.)
Доказательство
Обозначим P и Q точки пересечения с ВС касательных, параллельных и (рис.7). Прямая - биссектриса угла между этими касательными. , следовательно, треугольник равнобедренный, значит, еще и высота в этом треугольнике, т.е. .
8. Точки лежат на одной окружности, назовём её 3. Аналогичный результат для четвёрок (окружность 1) и (окружность 2).
Доказательство
Докажем, что точки лежат на одной окружности. Пусть точка Т – точка пересечения прямых и .
.
Значит, четырехугольник вписанный (рис.8).
9. Треугольники и перспективны. (Перспективными называются треугольники, у которых прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке.)
Доказательство
Используем теорему Чевы для ортотреугольника . Найдем, в каком отношении прямая делит отрезок ...Посмотреть предложения по расчету стоимости
Заказчик
заплатил
заплатил
20 ₽
Заказчик не использовал рассрочку
Гарантия сервиса
Автор24
Автор24
20 дней
Заказчик принял работу без использования гарантии
7 октября 2015
Заказ завершен, заказчик получил финальный файл с работой
5
Емельянов Л А Емельянова Т Л
Три загадочные точки в треугольнике
Вводная часть
Пусть в треугольнике АВС вписанная окружность.jpg
2017-09-29 13:34
Последний отзыв студента о бирже Автор24
Общая оценка
5
Положительно
Спасибо большое автору, выполняет заказ ОЧЕНЬ быстро за небольшую сумму денег. Заказываю уже 2-ой раз и буду ещё заказывать. Советую.
Хочешь такую же работу?
300 ₽
